Tensão Alternada - Tensão Senoidal - Circuito Resistivo em CA

1. Tensão  Continua. 

Como você bem sabe, uma tensão é chamada  de continua ou constante pois o seu valor não se altera com o tempo. Exemplo de geradores que geram tensão continua são as pilhas e as baterias. A Fig01 mostra o aspecto físico, símbolo e curva da tensão em função do tempo deste tipo de gerador.

               ( a)

                  ( b )                                              ( c )

Fig01: Gerador de tensão continua - ( a ) Aspecto físico ( b ) Símbolo e ( c ) gráfico da tensão em função do tempo           

 

O gráfico da figura 1 mostra o comportamento da tensão nos terminais da bateria ao longo do tempo: A tensão não muda, permanece constante.

2. Tensão Alternada

   É uma tensão  cujo valor  e polaridade  se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da  tensão então temos os diferentes tipos de tensão: Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc. 
De todas essas,  a senoidal é a que  tem   um maior interesse  pois é a tensão que é gerada nas usinas  e que alimenta as industrias e residências. Antes de estudarmos mais a fundo a tensão senoidal, vamos procurar conceituar melhor  a tensão alternada. Seja o circuito da Fig02, no qual temos duas baterias e uma chave  que ora conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta a bateria B2 ao resistor. Vamos supor que   cada bateria fica conectada ao resistor durante 1s. Como seria o gráfico da tensão em função do tempo nos terminais da bateria ?


                                     ( a )                                                                             ( b )

Fig02: Gerando uma tensão alternada quadrada -  ( a ) Circuito  ( b ) Tensão em função do tempo

Observe  que:                                                                                                                                       

O valor negativo  significa que a polaridade  da tensão mudou. O tempo que leva para repetir uma mesma situação é 2s, sendo chamado de período (T). O valor máximo da tensão é 12V (com qualquer polaridade, sendo chamado de  valor de pico ou valor máximo VM). A seguir estudaremos mais em detalhes a tensão senoidal.

3.   Tensão Senoidal

É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal, portanto nesse caso temos uma  expressão matemática para expressar a tensão. A  expressão matemática é :

ou em função do angulo

  Onde  VM (em V)  é o valor de pico (valor maximo que a tensão pode  ter) e 

w  em (rd/s) é a freqüência angular 

 (rd ou graus)  é o angulo de fase inicial,   é  o ângulo  num determinado instante t.
Observe
  que a relação entre ângulo e tempo é dada por : 
                       
       q = q0 + w.t
Esta equação é análoga à equação que rege o movimento uniforme de um móvel: 

                              S= S0+ v.t 

A  Fig03   mostra a sua representação  gráfica em função do tempo e a  Fig04  o gráfico em função do angulo.

3.1. Representação gráfica de uma Tensão Senoidal

Uma tensão senoidal varia em função do tempo de acordo com uma lei senoidal, portanto a sua representação será como na Fig03, mas a mesma tensão pode ser representada em função do angulo, Fig04, (não esqueça que  a função seno tem período de 360 graus ou de 2p rd), sendo a relação entre angulo  e tempo dada por :

                   q =q0 +w.t  
A figura a seguir mostra o gráfico da tensão em função do tempo.  
v(t)=10.sen(w.t)

Fig03: Representação gráfica de uma  tensão senoidal  em função do tempo

 O gráfico a seguir mostra a mesma tensão em função do angulo.

v(q)=10.sen(q )  existindo uma relação entre angulo e tempo dada por: q=w.t

Fig04: Representação gráfica de uma  tensão senoidal  em função do angulo 

Na Fig03, VPP (em V) é chamado de tensão de pico a pico,  T (em s)  é o período (tempo que o fenômeno leva para se repetir).

Pelos gráficos da Fig03 e Fig04  tiramos as seguintes conclusões: 

  como   q =w.t      se q =2 p

então o tempo será chamado de periodo (T)         t = T    logo:

        2.p=w.T   ou     w = 2 p/T    

O numero de ciclos completados segundos chamamos de freqüência (f). A freqüência está relacionada com o periodo por:

f =1/T (Hz)    logo  podemos também escrever  que:

    w=2 .p.f

3.2. Tensão Eficaz

 Para uma senoidal  definimos o seu valor eficaz (VRMS ou VEF) como sendo igual ao valor de uma tensão contínua que  produzirá a mesma dissipação de potência  que a tensão alternada em questão. No caso de uma tensão senoidal o seu valor eficaz é calculado por:

 

IMPORTANTE !!!!!

      

Obs: considerar 

 

para efeito  de calculo 

Por exemplo uma tensão  senoidal de  155V de pico é aplicada a uma resistência de 100 Ohms. Se ao mesmo resistor for aplicado uma tensão de 110V contínuos, a dissipação de potência será a mesma.

 

( a )

( b )

( d )

Fig05: ( a ) Tensão senoidal aplicada  a um resistor de 100 Ohms; ( b )  Tensão continua de valor igual ao valor eficaz da tensão senoidal aplicada a um resistor de 100 Ohms  

 

Para  a  tensão senoidal  representada na Fig05 os seus parâmetros serão: VP=VM=155V  VPP =310V  
VRMS =155/1,41=110V

T=0,01666s=16,66ms     portanto f= 1/0,0166 = 60 ciclos/s = 60Hz                 

 w=2.p.60=377 rd/s       q0=0
Um resistor de 100 Ohms ao ser  conectado a essa tensão senoidal, dissipará  a mesma potência se for  conectado a uma tensão CC de 110V
                                                                                                                                                                  

 Exercício1:

Exercício1:Representar as seguintes tensões senoidais   

    v1(t) =  15.sen(2.p.103.t ) ( V ).

    v2(t) =  20.sen(2.p.103.t  + p/2 )( V ).

 Solução:
Da expressão de v1 obtemos que  w=2.p.103 rd/s  e portanto 

  f1=1000Hz=1KHz, e  T1=1ms=0,001s.

O  valor de pico desta tensão é VM =15V, angulo de fase inicial   q0=
VRMS1  =15/1,41=10,6V

Para v2 temos que  w=2.p.103 rd/s  e portanto

f2=1000Hz=1KHz, e  T2=1ms=0,001s

o  valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial q0=9=p/2.

VRMS2  =20/1,41=14,2V

A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico em violeta representa V2. 

Exercício2: Representar as seguintes tensões senoidais ]

  

Solução:
Da expressão de v1 obtemos que  w=p.104 rd/s  e portanto f1=5000Hz=5KHz, e  T1=0,2ms=200ms .

O  valor de pico desta tensão é VM =5V, angulo de fase inicial  q0=9=p/2.
VRMS1  =5/1,41=3,54V 

Para v2 temos que  w=2.p.103 rd/s  e portanto f2=1000Hz=1KHz , e  T2=1ms=0,001s

o  valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial q0=9=p/2..
VRMS1  =5/1,41=3,54V 
A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico em violeta representa V2. 

Obs:    - p/2  = 3 p/2  ( -90º = 270º)                                                                                      

Observe  que as duas tensões estão   defasadas entre si de 180º.

Exercício3:

Representar as seguintes tensões senoidais   

Solução:
Tensão v1:  VM =155V  , w1=120.p rd/s ,    f1=w1/2.p  = 60Hz  logo 
T1=1/f1 =1/60=16,66ms,   angulo de fase inicial         q0= -45º= -p/4  
VRMS1  =155/1,41=110V

Tensão v2:    VM =155V, w2=120.p rd/s ,    f2=w2/2.p=60Hz  logo 
T2=1/f2 =1/60=16,66ms ,    angulo de fase inicial   q0=0º. 
VRMS2  =155/1,41=110V

A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico em violeta  representa V1 e V2 preta


3.3. Diagrama Fasorial

  É uma outra forma de representar  uma tensão senoidal. A Fig03 mostra como é construído o diagrama fasorial. Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão num determinado instante. Observe que o ângulo que o fasor  faz com o eixo horizontal representa o ângulo da tensão naquele instante.

No exemplo da figura 6 a tensão representada tem a expressão:  v(t)=10.sen(w.t) (V)

Diagrama Fasorial

                            ( a )                                                         ( b )
Fig06: Diagrama fasorial Referencia  Livros : Analise de Circuitos em CACircuitos em CA ; Editora Érica; Rômulo Oliveira Albuquerque

  O diagrama  da Fig06a representa a tensão da Fig06b que no caso, no instante t=0 vale zero e portanto a expressão da tensão em função do tempo é:

v(t) =VM.sen(wt)  pois q0 (angulo de fase inicial) vale zero. Caso  a tensão tivesse um angulo inicial,  a expressão seria dada por:

v(t) =VM.sen(wt+q0)  se a tensão estiver adiantada   ou  

 v(t) =VM.sen(wt - q0) se atrasada.

SINAL ADIANTADO   Ex:  v(t)=10.sen(w.t + q0)                   q0=900

                                                ( a )

SINAL ATRASADO     Ex:   v(t)=10.sen(w.t  + q0)     q0= - 900   ou  q0= 2700  

                                                          ( b )

Fig07: Diagrama fasorial  com  angulo de fase inicial   ( a ) Positivo  (tensão adiantada)  ( b ) Negativo (tensão atrasada) 

 

4. Circuitos Resistivos em CA

Em um circuito puramente resistivo (só com resistências)   alimentado  com uma tensão alternada (CA)  a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela   lei de ohm, isto é :

U =R.I  ou   I = U/R       sendo que usamos valores eficazes para I e U

Em termos de diagrama fasorial significa que os fasores representativos da tensão e da corrente estão em fase. A Fig08  mostra o diagrama fasorial da tensão e da corrente e o circuito.

Fig08: Circuito puramente resistivo  - Diagrama  fasorial  de um circuito puramente resistivo 

Exercico4: Representar graficamente   a tensão aplicada no circuito da Fig09,  e a corrente que o percorre  se é   alimentado por uma tensão  alternada  12V/60Hz

Solução:

No circuito  da Fig09  os valores calculados são :   I = 3mA  U1 = 3V    U2 = 9V  eficazes !!!

                                          ( a )                                                               ( b )

Fig09: Circuito puramente  resistivo em CA -   ( a ) Medida da corrente e tensões ( b ) Circuito com o osciloscópio para obter as formas de onda 

 

Observe que as formas de onda indicadas pelo osciloscópio são a tensão de entrada (terminal preto)  e a tensão no resistor  R2 (o osciloscópio  mostra a forma de onda  em relação ao terra !!!).

Obs: Para  maior detalhes sobre o funcionamento do osciloscópio virtual,  consulte o Curso MultiSIM2001

5. Potencia     em CA  em Circuito  Resistivo

A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantaneo da tensão pela corrente instantanea, isto é:

p(t)=v(t).i(t)  

Fig10: Circuito puramente  resistivo em CA - Potencia em CA

Se v(t)=VP.senwt (V), a corrente estará em fase com a tensão e será dada por i(t)=IP.senwt (A), onde

Por exemplo, seja Vp=17V o que significa um valor eficaz de VRMS=12V

se  a carga for R=4 Ohms, a corrente terá valor de pico de Ip= 4,25A e valor eficaz de IRMS=3A.

 

 A figura a seguir mostra os graficos da tensão e da corrente em função do tempo e da potencia instantanea (observe que o valor da potencia é sempre positivo).

Fig11: Circuito puramente  resistivo em CA - Potencia em CA - Gráficos da tensão, corrente e potencia instantanea

A potência dissipada no resistor será igual ao valor medio da potencia instantanea, e pode ser calculado por:

P=VRMS.IRMS que no exemplo valem  P=12V.3A=36W

Extraido do site: www.eletronica24h.com.br